Jednoduchý harmonický pohyb vynašiel francúzsky matematik barón Jean Baptiste Joseph Fourier v roku 1822. Edwin Armstrong (18. 12. 1890 - 1. 2. 1954) pozoroval pri svojich experimentoch oscilácie v roku 1992 a Alexander Meissner (14. SEP 1883 - 3. JAN 1958) vynašiel oscilátory v marci 1993. Termín harmonický je latinské slovo. Tento článok pojednáva o prehľade harmonického oscilátora, ktorý obsahuje jeho definíciu, typ a aplikácie.

Čo je harmonický oscilátor?

Harmonický oscilátor je definovaný ako pohyb, pri ktorom je sila priamo úmerná častici z rovnovážneho bodu a produkuje výstup v sínusovom tvare vlny. Sila, ktorá spôsobuje harmonické pohyb možno matematicky vyjadriť ako

F = -Kx

Kde,

F = obnovovacia sila

K = pružinová konštanta

X = vzdialenosť od rovnováhy

blokový diagram harmonického oscilátora

V harmonickom pohybe existuje bod, v ktorom systém kmitá, a sila, ktorá hmotu privádza znovu a znovu do toho istého bodu, odkiaľ vychádza, sa sila nazýva obnovovacia sila a bod sa nazýva rovnovážny bod alebo stredná poloha. Tento oscilátor je tiež známy ako a lineárny harmonický oscilátor . Energia prúdi z aktívnej komponenty na pasívne súčiastky v oscilátore.

Bloková schéma

The bloková schéma harmonického oscilátora pozostáva z zosilňovač a sieť spätnej väzby. Zosilňovač sa používa na zosilnenie signálov a to, že zosilnené signály prechádzajú cez spätnoväzbovú sieť a generujú výstup. Kde Vi je vstupné napätie, Vo je výstupné napätie a Vf je spätnoväzbové napätie.

Príklad

Omša na jar: Pružina poskytuje vratnú silu, ktorá urýchľuje hmotu, a vratná sila je vyjadrená ako

F = ma

Kde „m“ je hmotnosť a a je zrýchlenie.

“rôzne formy obnoviteľnej energie ”

hromadne na jar

Pružina sa skladá z hmoty (m) a sily (F). Keď sila ťahá hmotu v bode x = 0 a závisí iba od x - poloha hmoty a pružinová konštanta je reprezentovaná písmenom k.

Typy harmonického oscilátora

Medzi typy tohto oscilátora patria hlavne nasledujúce.

Nútený harmonický oscilátor

Keď na pohyb systému použijeme vonkajšiu silu, potom sa hovorí, že je to nútený harmonický oscilátor.

Tlmený harmonický oscilátor

Tento oscilátor je definovaný tak, že keď na systém použijeme vonkajšiu silu, potom sa pohyb oscilátora zníži a jeho pohyb sa považuje za tlmený harmonický pohyb. Existujú tri typy tlmených harmonických oscilátorov

tlmiace priebehy

Over Damped

Keď sa systém pohybuje pomaly k rovnovážnemu bodu, hovorí sa o nadmernom tlmenom harmonickom oscilátore.

Under Damped

Keď sa systém rýchlo pohybuje smerom k rovnovážnemu bodu, hovorí sa o nadmernom tlmenom harmonickom oscilátore.

Kritické tlmené

Keď sa systém pohybuje čo najrýchlejšie bez oscilácie okolo rovnovážneho bodu, hovorí sa o nadmernom tlmenom harmonickom oscilátore.

Kvantová

Je to vynález Maxa Borna, Wernera Heisenberga a Wolfganga Pauliho z „University of Gottingen“. Slovo kvantum je latinské slovo a význam kvanta je malé množstvo energie.

Energia nulového bodu

Energia nulového bodu je tiež známa ako energia základného stavu. Definuje sa, keď je energia základného stavu vždy vyššia ako nula, a tento koncept objavil Max Planck v Nemecku a vzorec vyvinutý v roku 1990.

Priemerná energia tlmenej rovnice jednoduchého harmonického oscilátora

Existujú dva typy energií, ktorými sú kinetická energia a potenciálna energia. Súčet kinetickej energie a potenciálnej energie sa rovná celkovej energii.

E = K + U ………………. Ekv. (1)

Kde E = celková energia

K = kinetická energia

U = potenciálna energia

Kde k = k = 1/2 mv^dva………… ekv. (2)

U = 1/2 kx^dva………… eq (3)

oscilačný cyklus - pre - priemerné hodnoty

Priemerné hodnoty kinetickej a potenciálnej energie na oscilačný cyklus sa rovnajú

Kde v^dva= v^dva(TO^dva-X^dva) ……. ekv (4)

Náhradník eq (4) v eq (2) a eq (3) získa

k = 1/2 m [š^dva(TO^dva-X^dva)]

= 1/2 m [aw cos (hmot. + Ø₀)]^dva……. ekv (5)

U = 1/2 kx^dva

= 1/2 k [A sin (wt + ø₀)]^dva……. ekv (6)

Náhradník eq (5) a eq (6) v eq (1) získa celkovú energetickú hodnotu

E = 1/2 m [hm^dva(TO^dva-X^dva)] + 1/2 kx^dva

= 1/2 m š^dva-1/2 m š^dvaTO^dva+ 1/2 kx^dva

= 1/2 m š^dvaTO^dva+1/2 x^dva(K-mw^dva) ……. ekv (7)

Kde mw^dva= K , nahraďte túto hodnotu v eq (7)

E = 1/2 K A^dva- 1/2 Kx^dva+ 1/2 x^dva= 1/2 K A^dva

Celková energia (E) = 1/2 K A^dva

Priemerné energie za jedno časové obdobie sú vyjadrené ako

K_priem= U_priem= 1/2 (1/2 K A^dva)

Vlnová funkcia harmonického oscilátora

Hamiltonovský operátor je vyjadrený ako súčet kinetickej energie a potenciálnej energie a je vyjadrený ako

ђ (Q) = T + V ………………. ekv. (1)

Kde ђ = hamitónsky operátor

T = kinetická energia

V = potenciálna energia

Na vygenerovanie vlnovej funkcie musíme poznať Schrodingerovu rovnicu a rovnica je vyjadrená ako

-đ^dva/ 2μ * d^dvaѱ_υ(Q) / dQ^dva+ 1 / 2KQ^dvaѱ_υ(Q) = E_υѱ_υ(Q) …………. ekv (2)

Kde Q = dĺžka normálnej súradnice

Μ = efektívna hmotnosť

K = silová konštanta

Okrajové podmienky Schrodingerovej rovnice sú:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

Môžeme tiež napísať eq (2) ako

d^dvaѱ_υ(Q) / dQ^dva+ 2μ / đ^dva(E._υ-K / 2 * Q^dva) ѱ_υ(Q) = 0 ………… ekv. (3)

Parametre použité na riešenie rovnice sú

β = ђ / √μk ……… .. ekv (4)

d^dva/ dQ^dva= 1 / β^dvad^dva/ dx^dva………… .. ekv (5)

Nahraďte eq (4) a eq (5) v eq (3), potom sa diferenciálna rovnica pre tento oscilátor stane

d^dvaѱ_υ(Q) / dx^dva+ (2 μb^dvaE_υ/ đ^dva- X^dva) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. ekv. (6)

Všeobecný výraz pre výkonové rady je

ΣC¬nx2 …………. ekv (7)

Exponenciálna funkcia je vyjadrená ako

exp (-x^dva/ 2) ………… eq (8)

eq (7) sa vynásobí eq (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

Hermitove polynómy sa získajú pomocou nižšie uvedenej rovnice

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^dva) d / dx^υ* exp (-x^dva) …………… .. ekv (10)

Normalizačná konštanta je vyjadrená ako

N_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .eq (11)

The jednoduché riešenie harmonického oscilátora je vyjadrený ako

Ѱ_υ(x) = N_υH_υ(a) e^{-x2 / 2}……………… eq (12)

Kde N_υje normalizačná konštanta

H _υje Hermit

je ^{-x2 / dva}je Gaussian

Rovnica (12) je vlnová funkcia harmonického oscilátora.

Táto tabuľka zobrazuje prvý výraz Hermitove polynómy pre stavy s najnižšou energiou

^υ	0	1	dva	3
H_υ(Y)	1	2r	4r^dva-dva	8r³-12r

Vlnové funkcie jednoduchý graf harmonického oscilátora pre štyri stavy s najnižšou energiou sú zobrazené na obrázkoch nižšie.

vlnové funkcie-harmonického-oscilátora

Hustoty pravdepodobnosti tohto oscilátora pre štyri najnižšie energetické stavy sú uvedené na nasledujúcich obrázkoch.

pravdepodobnosť-hustoty -vlnov

Aplikácie

Spoločnosť simplementovať harmonický oscilátoraplikácie zahŕňajú hlavne nasledujúce

Audio a video systémy
Rádiové a iné komunikačné zariadenia
Invertory , Alarmy
Bzučiaky
Ozdobné svetlá

Výhody

The výhody harmonického oscilátora sú

Lacné
Vysokofrekvenčné generovanie
Vysoká účinnosť
Lacné
Prenosný
Ekonomické

Príklady

Príklad tohto oscilátora obsahuje nasledujúce.

Hudobné nástroje
Jednoduché kyvadlo
Systém hromadnej pružiny
Hojdačka
Pohyb ručičiek hodín
Pohyb kolies automobilov, nákladných automobilov, autobusov atď

Je to jeden typ pohybu, ktorý môžeme pozorovať na našej dennej báze. Harmonické oscilátor sú odvodené vlnové funkcie pomocou Schrodingera a rovnice harmonického oscilátora. Tu je otázka, aký typ pohybu vykonávaného bungee jumpingom?